MECCANICA DEL CONTINUO
Introduzione alla Fisica Matematica dei sistemi continui
.Prof Dr. Valter Moretti
Esercitatore
Dr. Nicola Pinamonti
Argomenti generali del corso. Si tratta di un corso introduttivo di 42 ore alla fisica matematica dei sistemi fisici continui con particolare riguardo per la meccanica dei continui classica. Il corso inizia con una introduzione di tecniche geometrico-differenziali usate in vari campi della fisica matematica dei sistemi continui classici e non, corredate da diversi esempi.
Si tratteranno poi in particolare aspetti fondazionali della cinematica e dinamica dei mezzi continui classici con particolare attenzione alla meccanica dei fluidi ed alla teoria dell'elasticità lineare.
1.Elementi di Calcolo e Analisi Tensoriale.
1.1. Funzioni multilineari e tensori: spazio duale e spazio coniugato, prodotto tensoriale, tensori, teorema di universalita'.
1.2. Algebra tensoriale e notazione indiciale: algebra tensoriale generata da uno spazio vettoriale ed il suo duale, la notazione indiciale e regole per maneggiare tensori.
1.3. Alcune applicazioni: prodotto tensoriale di rappresentazioni gruppali, rappresentazioni del gruppo delle permutazioni e simmetria dei tensori. Esempi vari.
1.4. Concetti metrici: (pseudo- e semi-) prodotti scalari, isomorfismo tra V e V*, innalzamento ed abbassamento degli indici. Esempi vari, in particolare i gruppi O(p,q).
1.5.Orientazione: Orientazione dello spazio vettoriale, pseudotensori e pseudotensore di Ricci.
1.6. Richiami di tolopogia: varieta' topologiche e varieta' differenziali. Esempi vari (spazi affini)
1.7. Campi tensoriali su varieta': spazio tengente e cotangente, campi tensoriali.
1.8. Varieta' (pseudo) riemanniane: teorema di Sylvester e segnatura di una (pseudo-) metrica. Esempi vari. Concetto di varieta' localmente e globalmente piatta, coordinate (pseudo-)ortogonali. Esempi vari, in particolare su spazi affini.
1.9. Derivazione covariante: connessioni affini e connessione di Levi-Civita. Scrittura di operatori differenziali in coordinate non cartesiane.
2.Sistemi meccanici continui classici: aspetti fondazionali e cinematica.
2.1. Configurazioni ed evoluzione in termini di diffeomorfismi, descrizioni lagrangiana ed euleriana, derivata materiale. 2.2. Flusso, linee superfici, tubi di flusso. Linee di corrente, linee di rotore e circolazione. Rotazionalità.
2.3. Densità di massa e legge di conservazione della massa, l'equazione di continuità della massa.
2.4. Classificazione del flusso e caratterizzazioni matematiche: flusso stazionario, irrotazionale, solenoidale, incompressibile.Legge di Castelli.
3.Formulazione generale della dinamica dei sistemi continui con
cenni di termomeccanica.
3.1. Classificazione delle sollecitazioni: forze di massa, sforzi, stato tensionale di un mezzo continuo. Terzo principio della dinamica applicato agli sforzi. Equazioni cardinali della dinamica in forma indefinita.
3.2. Il "grande teorema di Cauchy": Il tensore degli sforzi e la formulazione locale delle equazioni cardinali della dinamica. Simmetria del tensore degli sforzi.
3.3. Teorema di bilancio dell'energia meccanica di un sistema continuo generico. 3.4. Primo cenno al tensore di velocità di deformazione.
3.5. Cenni di termomeccanica dei continui (primo principio, secondo principio e disuguaglianza di Calusius-Duhem). il problema delle relazioni costitutive.
4.Fluidi ideali e barotropici ed incompressibili.
4.1. Definizione di (continuo) fluido, di (continuo) fluido ideale e (continuo) fluido barotropico.
4.2. Potenziale barotropico. Condizioni necessarie per l'equilibrio di un fluido barotropico ideale. Dinamica dei fluidi ideali barotropici. Equazioni di Eulero.Teorema di Bernoulli, legge di Torricelli, effetto Venturi.
4.3. Rotazionalità. Teorema di Thompson.
4.4. Fluido barotropico incompressibile con flusso irrotazionale in presenza di un ostacolo ed azione dinamica.
5.Elementi di fluidodinamica piana.
5.1. Potenziale cinetico, funzione di corrente (funzioni olomorfe ed armoniche). Il problema idrodinamico piano in presenza di un ostacolo, (accenno alla soluzione di Yukowski, al paradosso di D'Alembert ed all'effetto Magnus).
6.Fluidi viscosi.
6.1. Non fisicità dei fluidi ideali.
6.2.Tensore degli sforzi di Navier-Stokes per fluidi newtoniani isotropi omogenei invarianti per traslazioni temporali (dal lemma di Schur). Equazioni di Navier-Stokes per fluidi compressibilied incompressibili. Parametro di Reynolds e turbolenza.
6.3. Equazione di Stokes e forma della soluzione.
6.4. Moti di Poiseuille.
7.Bilanci energetici.
7.1. Sistemi continui sottoposti a forze di massa conservative. Bilancio energetico per fluidi ideali e barotropici.
7.2. Il segno del coefficiente di Navier-Stokes e dissipazione dell'energia.
8.Introduzione alla teoria dell'elasticità lineare.
8.1. Tensori di deformazione e deformazione lineare. Velocità di deformazione. Tensore di velocità di deformazione e sue proprietà.
8.2. Mezzi elestici lineari, omogenei, isotropi, invarianti per traslazioni temporali. Parametri di Lamé dal lemma di Schur.
8.3. Energia potenziale elastica e sua conservazione.
8.4. Onde elastiche nei mezzi continui elastici lineari di Lamé. Onde longitudinali e trasversali. Riduzione all'equazione di D'Alembert vettoriale.
Prerequisiti
Parte dei contenuti dei corsi di analisi I, analisi II, geometria I, geometria II (per matematici) fisica I e parte di fisica II del vecchio ordinamento in Matematica oppure in Fisica, ovvero tutte le unità didattiche dei corsi approssimativamente equivalenti a quelli indicati sopra per il nuovo ordinamento. (La parte necessaria di topologia per gli eventuali studenti fisica che seguiranno il
corso sarà presentata brevemente durante il corso stesso).
Testi consigliati
Saranno disponibili dispense dettagliate sulle varie parti del corso.
Testi di consultazione
Geometria differenziale ed Analisi tensoriale
B.A. DUBROVIN, S.P. NOVIKOV, A.T. FOMENKO, Geometria Contemporanea, Editori Riuniti, vol. I e II B. O'Neill, Semi-Riemannian Geometry with applications to Relativity, Academic Press,
Meccanica dei continui classica
T. LEVI CIVITA, E. AMALDI, Compendio di Meccanica Razionale, parte II,
Zanichelli.
G. DUVAUT, Mécanique des milieux continus, Masson
P. APPELL, Traité de Mecanique Rationelle, Tome III, Gauthier-Villars.
I. SEDOV, A Course in Continuum Mechanics, vol. 1 & 2
Modalità d'esame
L'esame per gli studenti che hanno seguito il corso nell'anno 2000-2001 consiste in una prova orale sugli argomenti effettivamente trattati nel corso, oppure un seminario concordato con il docente e riguardante le parti di programma non trattate del corso (il programma effettivamente svolto sara' disponibile alla fine del corso), ovvero riguardante argomenti attinenti a quelli trattati nel corso.
FISICA MATEMATICA (1 Unità)
Equazioni differenziali ordinarie e modelli matematici per le applicazioni
Prof. Enrico Pagani
Esercitatore:
Dr. Sonia Mazzucchi
OGGETTO ED OBBIETTIVI DEL CORSO
Viene presentata una introduzione alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie, fornendo risultati relativi all'esistenza, alla unicità, alla dipendenza continua dai dati iniziali, e alla stabilità delle soluzioni del problema di Cauchy. Vengono altresì forniti risultati relativi alla integrazione di sistemi di equazioni differenziali lineari nonché metodi di analisi qualitativa delle soluzioni di particolari sistemi. Viene quindi mostrato come sia possibile fornire una modellizzazione matematica di problemi di Meccanica Classica che riduce lo studio di tali problemi alla analisi delle soluzioni di corrispondenti sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Il corso comprende un congruo numero di ore di esercitazioni aventi lo scopo di far acquisire agli studenti capacità di impostazione e di soluzione di problemi di natura sia analitica che applicativa.
PROGRAMMA
1.Introduzione alla teoria dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine di forma normale.
Il problema di Cauchy. Teorema di esistenza e teorema di unicità. Prolungamento delle soluzioni, soluzioni massimali e complete. Integrale generale. Dipendenza continua delle soluzioni dai dati iniziali. Il problema della stabilità e il metodo diretto di Liapunov per sistemi autonomi. Integrali primi, soluzioni stazionarie. Sistemi lineari del primo e del secondo ordine (a coefficienti costanti) omogenei e non omogenei: soluzioni generali in una dimensione ed applicazioni.
2.Modellizzazione matematica della Meccanica Classica
Postulati della Meccanica Classica. Principio di determinismo newtoniano e principio di relatività galileiano. Equazione fondamentale della meccanica del punto libero. Esempi di moto dei punti nello spazio sottoposti a forza di Lorentz. Vincoli. Applicazioni: moti spontanei su una superficie priva d'attrito, pendolo matematico. Dinamica dei sistemi di punti materiali liberi o vincolati. Moti di punti materiali vincolati su una curva priva d'attrito: formalismo di Frenet, conservazione dell'energia. Sistemi rigidi. Applicazioni: pendolo fisico, corpo rigido con punto fisso privo d'attrito, giroscopi. Stabilità delle rotazioni permanenti.
Prerequisiti
I contenuti dei Corsi di Analisi Matematica, Fisica Generale, Geometria.
Testi consigliati
A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica con elementi di Meccanica Statistica e dei Continui, Bollati Boringhieri, Torino, 1994
E. Giusti, Analisi Matematica 2 , Bollati Boringhieri
L. Salvadori, Appunti delle Lezioni, dispense
G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, Appunti di Meccanica Razionale,
dispense
F. Bampi, M. Benati, A. Morro, Esercizi di Meccanica Razionale, ECIG, Genova
Testi di consultazione
E. Mach, La Meccanica nel suo sviluppo storico critico, Bollati Boringhieri
T. Levi-Civita, U. Amaldi, Lezioni di Meccanica Razionale, Zanichelli
A. Romano, Lezioni di Meccanica Razionale, Liguori Editore
Modalità di esame
L'esame consiste in due prove scritte svolte durante il corso (il cui superamento esonera dalla prova scritta finale) e in una prova orale facoltativa.
FISICA-MATEMATICA (2 Unità)
(Equazioni e derivate parziali della fisica matematica e applicazioni)
Programma provvisorio: potrà subire variazioni durante il corso, il programma
effettivamente svolto sarà reso noto alla fine del corsoProf. Enrico Pagani
Esercitatore Dr. Sonia Mazzucchi
OGGETTO ED OBBIETTIVI DEL CORSO
Il corso, rivolto a studenti del Corso di Laurea in Matematica. Si propone di introdurre ed esaminare alcuni aspetti riguardanti le equazioni differenziali aderivate parziali del secondo ordine rilevanti nella Fisica-Matematica, distinguendo tra equazioni iperboliche, paraboliche ed ellittiche.
PROGRAMMA
1.Generalità e classificazione. (Pagani-Moretti)
1.1. Fenomeni fisici che conducono alle principali equazioni differenziali della Fisica Matematica: propagazione delle onde nei mezzi elastici, nei fluidi, nei conduttori elettrici, propagazione del calore, diffusione, elettromagnetismo. 1.2.Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine. Problema di Cauchy. Soluzioni con discontinuità sulle derivate seconde.
2. Equazioni Iperboliche. (da completare) (Pagani)
Equazione delle onde. Integrale di d'Alembert.
Proprietà. Metodo di separazione delle variabili. Funzioni di Green.
3. Equazioni paraboliche. (da completare) (Pagani)
Equazione del calore. Proprietà. Principio del massimo. Metodo di
separazione delle variabili. Equazione del calore sul segmento e sulla
retta. Funzioni di Green.
Problemi di transizione di fase.
4. Equazioni ellittiche. (Moretti)
4.1. Equazione di Laplace e Poisson in Fisica Matematica. qualche cenno alle motivazioni fisiche (elettrostatica)
4.2. Assenza di superfici caratteristiche per le equazioni ellittiche in IRn. Problemi di Dirichelet e di Neumann.
4.3. Funzioni armoniche e subarmoniche in IRn e principio del massimo (debole). Unicità delle soluzioni del problema di Dirichelet per insiemi aperti non vuoti relativamente compatti e non.
4.4.Teorema della divergenza in IRn, prima e seconda identità di Green. Unicità delle soluzioni per il problema di Neumann a meno di costanti in aperti connessi a chiusura compatta e frontiera regolare
orientabile.
4.5. Funzioni di Green in IRn .Costruzione esplicita di esse per n>1. Formula che lega il valore di f(y) a due integrali di superficie e discussione. Non esistenza di funzioni armoniche a supporto compatto non ovunque nulle. Cenno alla regolarità delle funzioni armoniche.
4.6. Teorema della media in IRn ed applicazioni: principio del massimo forte in una palla ed in un insieme aperto connesso a chiusura
compatta.
4.7. Nuclei di Poisson: discussione generale per il problema di Dirichelet e di Neumann con sorgente. Costruzione di nuclei di Poisson per il problema di Dirichelet in tre casi particolari: semispazio in IR3, nell'interno di una palla di IR3 e nell'interno di un disco di IR2. Scrittura esplicita delle formule risolutive del problema di Dirichelet nei tre casi detti. Cenno alla proprietà di simmetria del nucleo di Poisson.
Testi consigliati
A. N. TICHONOV, A. A. SAMARSKIJ, Equazioni della Fisica Matematica, Mir
V. S. VLADIMIROV, Equations of Mathematical Physics, Mir
F. JOHN, Partial Differential Equations, Springer-Verlag
Appunti forniti dal docente durante le lezioni.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di analisi e fisica e Fisica Matematica I unità didattica.
Modalità e svolgimento dell'esame
L'esame consiste in una prova orale di conoscenza degli argomenti del corso.
FISICA MATEMATICA (3 Unità)
(Meccanica analitica per matematica)
Programma provvisorio: potrà subire variazioni durante il corso, il programma effettivamente svolto
sarà reso noto alla fine del corso
Prof. Enrico Pagani
Esercitatore Dr. Sonia Mazzucchi
OGGETTO ED OBBIETTIVI DEL CORSO
Viene fornita una trattazione rigorosa e sistematica della Meccanica Classica dei sistemi ad un numero finito di gradi di libertà.. Viene perciò formulata in generale la cinematica e la dinamica di sistemi olonomi a vincoli ideali, pervenendo alle equazioni di Lagrange e di Hamilton. Particolare enfasi viene posta sull'analisi qualitativa dei moti, e, in tale ambito, sul problema della stabilità. Il corso comprende un congruo numero di ore di esercitazioni aventi lo scopo di far acquisire agli studenti capacità di impostazione e soluzione di problemi di meccanica di sistemi di punti e corpi rigidi.
PROGRAMMA
1. Meccanica Lagrangiana.
Sistemi vincolati, cenni sulle varietà differenziabili; varietv delle configurazioni di un sistema ad un numero finito di gradi di libertà; coordinate lagrangiane; sistemi olonomi ed anolomi; spostamenti virtuali; esempi: punto libero o vincolato, corpo rigido. Espressione lagrangiana dell'energia cinetica.Vincoli ideali; equazione simbolica della dinamica. Equazioni di Lagrange per i sistemi olonomi; teorema delle forze vive; integrale primo dell'energia. Potenziale generalizzato, forza di Lorentz; funzione di Lagrange. Sistemi lagrangiani generali, integrale generalizzato dell'energia; integrali primi dei momenti; teorema di Noether. Stabilità delle configurazioni di equilibrio; teorema di Lagrange-Dirichlet; stabilità dell'equilibrio in presenza di dissipazione completa; linearizzazione delle equazioni di Lagrange intorno a una configurazione di equilibrio; piccole oscillazioni intorno ad una configurazione di equilibrio stabile; modi normali.
2. Meccanica Hamiltoniana.
Forma hamiltoniana dei sistemi lagrangiani; sistemi canonici. Trasformazioni canoniche e completamente canoniche; parentesi di Lagrange e di Poisson, condizione di canonicità di Lie. Integrali primi. Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche, metodo di Hamilton-Jacobi. Invarianti integrali, teorema di Liouville.
3. Principi variazionali.
Principio di Hamilton; formulazione variazionale delle equazioni di Lagrange; principio dell'azione stazionaria; principio di Maupertuis.
Testi consigliati
A. FASANO, S. MARMI, Meccanica Analitica con elementi di Meccanica Statistica e dei Continui, Bollati Boringhieri, Torino, 1994
L. SALVADORI, Appunti delle Lezioni, dispense
G. BENETTIN, L. GALGANI, A. GIORGILLI, Appunti di Meccanica Razionale,
dispense
F. BAMPI, M. BENATI, A. MORRO, Esercizi di Meccanica Razionale, ECIG, Genova
L.SALVADORI, Appunti delle lezioni
T.LEVI-CIVITA, U.AMALDI, Lezioni di Meccanica Razionale, Zanichelli
G.BENETTIN, L.GALGANI, A.GIORGILLI, Appunti di Meccanica Razionale, dispense
Testi di consultazione
V. I. ARNOLD, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti
Modalità di esame
L'esame consiste in due prove scritte svolte durante il corso (il cui superamento esonera dalla prova scritta finale) e in una prova orale.
ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA (II MODULO)
Prof. Enrico Pagani
Anno Accademico 2001/2002
OGGETTO ED OBBIETTIVI DEL CORSO
Il corso, rivolto a studenti del III anno del Corso di Laurea in Matematica, si propone di esaminare alcuni aspetti geometrico-differenziali delle equazioni differenziali a derivate parziali del primo ordine, rilevanti in meccanica hamiltoniana (equazione di Hamilton-Jacobi) e nella propagazione di onde nei continui materiali.
Programma
Equazioni alle derivate parziali del primo ordine quasi lineari. Problema di Cauchy. Esempi. Equazioni alle derivate parziali del primo ordine non lineari. Coni di Monge. Campo caratteristico. Problema di Cauchy. Esempi.
Equazioni di Hamilton. Trasformazioni canoniche. Teoria di Hamilton-Jacobi. Esempi. Connessione tra equazione di Hamilton-Jacobi ed equazioni di Hamilton.
Concetto di integrale completo. Costruzione dell'integrale generale mediande inviluppi. Metodo di Lagrange-Charpit per la costruzione dell'integrale completo.
Propagazione di discontinuità per equazioni e sistemi di equazioni differenziali in più variabili spaziali. Superficie caratteristica. Versore normale spaziale. Velocità normale. Caratterizzazione delle discontinuità delle derivate della soluzione. Studio della propagazione delle discontinuità delle derivate seconde della soluzione di una equazione del secondo ordine quasi lineare. Campo bicaratteristico. Propagazione delle discontinuità delle derivate prime per sistemi di equazioni del primo ordine quasi lineari.
Sistemi di equazioni in forma conservativa. Onde d'urto. Condizioni di Rankine-Hugoniot. Equazioni della fluidodinamica e corrispondenti condizioni di Rankine-Hugoniot.
Testi consigliati
M. SPIVAK, A comprehensive Introduction to Differential Geometry, Publish or Perish
C. CATTANEO, Elementi di teoria della propagazione ondosa, Pitagora Editrice
N. BLEINSTEIN, Mathematical Methods for Wave Phenomena, Academic Press
Appunti forniti dal docente durante le lezioni.
Prerequisiti
I contenuti dei corsi di Analisi matematica I e II, Fisica generale I e II,
Meccanica razionale, Istituzioni di fisica matematica I.
Modalità e svolgimento dell'esame
L'esame consiste in una prova orale di conoscenza degli argomenti del corso.